Przykład średnie ruchome prognozowanie

LUB-Uwagi to seria wprowadzających uwag na tematy, które mieszczą się w szerokim polu badań operacyjnych (OR). Pierwotnie były używane przeze mnie w kursie wprowadzającym LUB kursie, który prowadzę w Imperial College. Są one teraz dostępne do użytku dla wszystkich uczniów i nauczycieli zainteresowanych OR, z zastrzeżeniem następujących warunków. Pełną listę tematów dostępnych w OR-Notes można znaleźć tutaj. Przykłady prognoz Przykład prognozy 1996 Egzamin UG Popyt na produkt w każdym z ostatnich pięciu miesięcy przedstawiono poniżej. Użyj średniej ruchomej z dwóch miesięcy, aby wygenerować prognozę popytu w miesiącu 6. Zastosuj wygładzanie wykładnicze ze stałą wygładzania równą 0,9, aby wygenerować prognozę popytu na popyt w miesiącu 6. Która z tych dwóch prognoz wolisz i dlaczego? średnia dla miesięcy od dwóch do pięciu jest podana przez: Prognoza dla szóstego miesiąca jest tylko średnią kroczącą za miesiąc przed tą, czyli średnią kroczącą dla miesiąca 5 m 5 2350. Stosując wygładzanie wykładnicze ze stałą wygładzania wynoszącą 0,9 otrzymujemy: jak poprzednio prognoza dla szóstego miesiąca jest tylko średnią dla miesiąca 5 M 5 2386 Aby porównać dwie prognozy, obliczamy średnie odchylenie kwadratu (MSD). Jeśli to zrobimy, stwierdzimy, że dla średniej ruchomej MSD (15-19) sup2 (18-23) sup2 (21-24) sup23 16,67 i dla wykładniczo wygładzonej średniej ze stałą wygładzania 0,9 MSD (13-17) sup2 (16,60 - 19) sup2 (18,76 - 23) sup2 (22,58 - 24) sup24 10,44 Ogólnie rzecz biorąc widzimy, że wygładzanie wykładnicze wydaje się dawać najlepsze prognozy na jeden miesiąc z wyprzedzeniem, ponieważ ma niższy MSD. Dlatego preferujemy prognozę 2386, która została wygenerowana przez wygładzanie wykładnicze. Przykład prognozy 1994 Egzamin UG Poniższa tabela pokazuje zapotrzebowanie na nową wodę po goleniu w sklepie dla każdego z ostatnich 7 miesięcy. Obliczyć dwumiesięczną średnią ruchomą dla miesięcy dwóch do siedmiu. Jaka byłaby twoja prognoza na popyt w ósmym miesiącu Zastosuj wygładzanie wykładnicze ze stałą wygładzania równą 0,1, aby uzyskać prognozę popytu w ósmym miesiącu. Która z dwóch prognoz na miesiąc osiem wolisz i dlaczego Właściciel sklepu uważa, że ​​klienci przestawiają się na nową wodę po goleniu od innych marek. Przedyskutuj sposób modelowania tego zachowania przełączającego i wskaż dane, które będą potrzebne do potwierdzenia, czy to przełączanie występuje, czy nie. Dwumiesięczna średnia ruchoma dla miesięcy od dwóch do siedmiu jest wyrażona przez: Prognoza dla ósmego miesiąca to tylko średnia krocząca z miesiąca poprzedzającego, tj. Średnia krocząca dla miesiąca 7 m 7 46. Zastosowanie wygładzania wykładniczego ze stałą wygładzania równą 0,1. uzyskać: Tak jak przed prognozą na miesiąc 8 to tylko średnia dla miesiąca 7 M 7 31,11 31 (ponieważ nie możemy mieć ułamkowego popytu). Aby porównać dwie prognozy, obliczamy średnie odchylenie kwadratu (MSD). Jeśli to zrobimy, stwierdzimy, że dla średniej ruchomej i dla wygładzonej wykładniczo średniej ze stałą wygładzania 0,1 Ogólnie rzecz biorąc, wydaje się, że dwumiesięczna średnia ruchoma daje najlepsze prognozy na jeden miesiąc z wyprzedzeniem, ponieważ ma niższy MSD. Dlatego preferujemy prognozę 46, która została wyprodukowana przez dwumiesięczną średnią ruchomą. Aby zbadać przełączanie, potrzebowalibyśmy modelu procesu Markowa, w którym stany marek i potrzebowalibyśmy początkowych informacji o stanie i prawdopodobieństw przełączania klientów (z ankiet). Musielibyśmy uruchomić model na danych historycznych, aby sprawdzić, czy mamy dopasowanie między modelem a historycznym zachowaniem. Przykład prognozy 1992 Egzamin UG Poniższa tabela przedstawia zapotrzebowanie na konkretną markę maszynki do golenia w sklepie dla każdego z ostatnich dziewięciu miesięcy. Obliczyć trzymiesięczną średnią ruchomą dla miesięcy trzech do dziewięciu. Jaka byłaby twoja prognoza na popyt w miesiącu 10 Zastosuj wygładzanie wykładnicze ze stałą wygładzania równą 0,3, aby uzyskać prognozę popytu w miesiącu dziesiątym. Którą z dwóch prognoz na miesiąc 10 preferujesz i dlaczego? 3-miesięczna średnia ruchoma dla miesięcy 3-9 jest określona przez: Prognoza dla 10 miesiąca to tylko średnia krocząca dla miesiąca poprzedzającego to, czyli średnia ruchoma dla miesiąca 9 m 9 20,33. Stąd (ponieważ nie możemy mieć popyt ułamkowy) prognoza na miesiąc 10 wynosi 20. Stosując wygładzanie wykładnicze ze stałą wygładzania 0,3 otrzymujemy: Tak jak przed prognozą na miesiąc 10 jest tylko średnią dla miesiąca 9 M 9 18,57 19 (jak my nie może mieć popytu ułamkowego). Aby porównać dwie prognozy, obliczamy średnie odchylenie kwadratu (MSD). Jeśli to zrobimy, stwierdzimy, że dla średniej ruchomej i dla wygładzonej wykładniczo średniej ze stałą wygładzania wynoszącą 0,3 Ogółem widzimy, że trzymiesięczna średnia ruchoma wydaje się dawać najlepsze prognozy na jeden miesiąc z wyprzedzeniem, ponieważ ma niższy MSD. Dlatego preferujemy prognozę 20, która została wyprodukowana przez średnią ruchomą z trzech miesięcy. Przykład prognozy 1991 Egzamin UG Poniższa tabela pokazuje zapotrzebowanie na konkretną markę faksu w domu towarowym w każdym z ostatnich dwunastu miesięcy. Oblicz czteromiesięczną średnią ruchomą dla miesięcy 4 do 12. Jaka byłaby twoja prognoza na popyt w miesiącu 13 Zastosuj wygładzanie wykładnicze ze stałą wygładzania równą 0,2, aby uzyskać prognozę popytu w 13. miesiącu. Która z dwóch prognoz na miesiąc 13 Wolisz i dlaczego Jakie inne czynniki, nieuwzględnione w powyższych obliczeniach, mogą wpłynąć na popyt na faks w miesiącu 13. Czteromiesięczna średnia ruchoma dla miesięcy od 4 do 12 jest określona przez: m 4 (23 19 15 12) 4 17.25 m 5 (27 23 19 15) 4 21 m 6 (30 27 23 19) 4 24,75 m 7 (32 30 27 23) 4 28 m 8 (33 32 30 27) 4 30,5 m 9 (37 33 32 30) 4 33 m 10 (41 37 33 32) 4 35,75 m 11 (49 41 37 33) 4 40 m 12 (58 49 41 37) 4 46,25 Prognoza dla miesiąca 13 to tylko średnia krocząca z miesiąca poprzedzającego, tj. Średnia krocząca za miesiąc 12 m 12 46,25. Stąd (ponieważ nie możemy mieć poparcia cząstkowego) prognoza na miesiąc 13 to 46. Zastosowanie wygładzania wykładniczego ze stałą wygładzania o wartości 0,2 otrzymujemy: Tak jak przed prognozą na miesiąc 13 jest to tylko średnia dla miesiąca 12 M 12 38.618 39 (jak my nie może mieć popytu ułamkowego). Aby porównać dwie prognozy, obliczamy średnie odchylenie kwadratu (MSD). Jeśli to zrobimy, stwierdzimy, że dla średniej ruchomej i dla wygładzonej wykładniczo średniej ze stałą wygładzania wynoszącą 0,2 Ogólnie widać, że czteromiesięczna średnia ruchoma wydaje się dawać najlepsze prognozy na jeden miesiąc z wyprzedzeniem, ponieważ ma niższy MSD. Dlatego wolimy prognozę 46, która została wyprodukowana przez średnią ruchomą z czterech miesięcy. sezonowe zmiany cen reklam, zarówno ta marka, jak i inne marki, ogólna sytuacja gospodarcza, nowa technologia, Przykład prognozy 1989, egzamin UG Poniższa tabela pokazuje zapotrzebowanie na konkretną markę kuchenki mikrofalowej w domu towarowym w każdym z ostatnich dwunastu miesięcy. Obliczyć sześciomiesięczną średnią ruchomą dla każdego miesiąca. Jaka byłaby twoja prognoza popytu w miesiącu 13 Zastosuj wygładzanie wykładnicze ze stałą wygładzania równą 0,7, aby uzyskać prognozę popytu w 13. miesiącu. Która z dwóch prognoz na 13 miesiąc wolisz i dlaczego Teraz nie możemy obliczyć szóstki średnia ruchoma miesiąca do czasu, gdy będziemy mieli co najmniej 6 obserwacji - tzn. możemy obliczyć taką średnią tylko od 6 miesiąca. Zatem mamy: m 6 (34 32 30 29 31 27) 6 30,50 m 7 (36 34 32 30 29 31) 6 32,00 m 8 (35 36 34 32 30 29) 6 32,67 m 9 (37 35 36 34 32 30) 6 34,00 m 10 (39 37 35 36 34 32) 6 35,50 m 11 (40 39 37 35 36 34) 6 36,83 m 12 (42 40 39 37 35 36) 6 38,17 Prognoza dla miesiąca 13 to tylko średnia krocząca dla miesiąc wcześniej niż średnia krocząca za miesiąc 12 m 12 38,17. Stąd (ponieważ nie możemy mieć popyt cząstkowy) prognoza na miesiąc 13 wynosi 38. Zastosowanie wygładzania wykładniczego ze stałą wygładzania 0,7 otrzymujemy: W praktyce średnia ruchoma zapewni dobre oszacowanie średniej z szeregów czasowych, jeśli średnia jest stały lub powoli się zmienia. W przypadku stałej średniej, największa wartość m da najlepsze oszacowanie podstawowej średniej. Dłuższy okres obserwacji uśredni skutki zmienności. Celem zapewnienia mniejszego m jest umożliwienie prognozie reakcji na zmianę w leżącym u jej podstaw procesie. Aby to zilustrować, proponujemy zestaw danych, który uwzględnia zmiany w średniej bazowej szeregu czasowego. Na rysunku przedstawiono serie czasowe stosowane do ilustracji wraz ze średnim zapotrzebowaniem, z którego wygenerowano serię. Średnia rozpoczyna się jako stała przy 10. Zaczynając od czasu 21, zwiększa się o jedną jednostkę w każdym okresie, aż osiągnie wartość 20 w czasie 30. Następnie staje się stała ponownie. Dane są symulowane przez dodanie do średniej, losowego szumu z rozkładu normalnego ze średnią zerową i odchyleniem standardowym 3. Wyniki symulacji są zaokrąglane do najbliższej liczby całkowitej. Tabela pokazuje symulowane obserwacje stosowane dla przykładu. Kiedy używamy tabeli, musimy pamiętać, że w danym momencie znane są tylko przeszłe dane. Szacunki parametru modelu, dla trzech różnych wartości m są przedstawione razem ze średnią serii czasowych na poniższym rysunku. Rysunek pokazuje średnie ruchome oszacowanie średniej za każdym razem, a nie prognozę. Prognozy przesuwają krzywą średniej ruchomej w prawo o okresy. Jeden wniosek jest natychmiast widoczny na rysunku. We wszystkich trzech szacunkach średnia ruchoma pozostaje w tyle za trendem liniowym, przy czym opóźnienie wzrasta wraz z m. Opóźnienie jest odległością między modelem a oszacowaniem w wymiarze czasowym. Z powodu opóźnienia średnia ruchoma nie docenia obserwacji, gdy średnia rośnie. Przeciążeniem estymatora jest różnica w określonym czasie w wartości średniej modelu i średniej wartości przewidywanej przez średnią ruchomą. Przeciążenie, gdy średnia rośnie, jest ujemne. Dla zmniejszenia średniej odchylenie jest dodatnie. Opóźnienie w czasie i odchylenie wprowadzone w oszacowaniu są funkcjami m. Im większa wartość m. im większa jest wielkość opóźnienia i stronniczości. Dla ciągle rosnącej serii z trendem a. wartości opóźnień i stronniczości estymatora średniej podano w równaniach poniżej. Krzywe przykładowe nie pasują do tych równań, ponieważ przykładowy model nie zwiększa się w sposób ciągły, raczej zaczyna się jako stała, zmienia się w trend, a następnie staje się stały. Również krzywe przykładowe są zakłócane przez szum. Prognozę ruchomych średnich okresów w przyszłości reprezentuje przesuwanie krzywych w prawo. Opóźnienie i odchylenie zwiększają się proporcjonalnie. Poniższe równania wskazują opóźnienie i odchylenie okresów prognozy w przyszłości w porównaniu do parametrów modelu. Ponownie, formuły te są dla szeregu czasowego ze stałym trendem liniowym. Nie powinniśmy być zaskoczeni tym wynikiem. Estymator średniej ruchomej opiera się na założeniu stałej średniej, a przykład ma tendencję liniową w średniej podczas części okresu badania. Ponieważ serie czasu rzeczywistego rzadko będą dokładnie przestrzegać założeń dowolnego modelu, powinniśmy być przygotowani na takie wyniki. Z rysunku można również wyciągnąć wniosek, że zmienność hałasu ma największy wpływ na mniejsze m. Oszacowanie to jest dużo bardziej zmienne dla średniej kroczącej wynoszącej 5 niż średnia krocząca wynosząca 20. Mamy sprzeczne pragnienia zwiększenia m, aby zmniejszyć efekt zmienności z powodu hałasu, i zmniejszyć m, aby prognoza lepiej reagowała na zmiany w średniej. Błąd jest różnicą między rzeczywistymi danymi a prognozowaną wartością. Jeżeli szereg czasowy jest rzeczywiście stałą wartością, oczekiwana wartość błędu wynosi zero, a wariancja błędu składa się z terminu będącego funkcją drugiego i będącego wariancją szumu,. Pierwszy termin to wariancja średniej oszacowanej z próbką m obserwacji, przy założeniu, że dane pochodzą z populacji o stałej średniej. Termin ten jest minimalizowany przez uczynienie m tak dużym, jak to możliwe. Duży m sprawia, że ​​prognoza nie reaguje na zmiany w podstawowych szeregach czasowych. Aby prognoza była responsywna dla zmian, chcemy m tak małe, jak to możliwe (1), ale to zwiększa wariancję błędu. Praktyczne prognozowanie wymaga wartości pośredniej. Prognozowanie za pomocą Excela Dodatek Forecasting implementuje średnie ruchome formuły. Poniższy przykład pokazuje analizę dostarczoną przez dodatek dla przykładowych danych w kolumnie B. Pierwsze 10 obserwacji jest indeksowanych od -9 do 0. W porównaniu do powyższej tabeli, indeksy okresu są przesuwane o -10. Pierwsze dziesięć obserwacji dostarcza wartości początkowe dla oszacowania i są używane do obliczenia średniej ruchomej dla okresu 0. Kolumna MA (10) (C) pokazuje obliczone średnie ruchome. Parametr m średniej ruchomej znajduje się w komórce C3. Kolumna Fore (1) (D) pokazuje prognozę na jeden okres w przyszłości. Interwał prognozy znajduje się w komórce D3. Gdy przedział prognozy zostanie zmieniony na większą liczbę, liczby w kolumnie "Fore" zostaną przesunięte w dół. Kolumna Err (1) (E) pokazuje różnicę między obserwacją a prognozą. Na przykład obserwacja w czasie 1 to 6. Prognozowana wartość wykonana z średniej ruchomej w czasie 0 wynosi 11,1. Błąd wynosi więc -5.1. Odchylenie standardowe i średnie odchylenie średnie (MAD) są obliczane odpowiednio w komórkach E6 i E7.8.4 Modele średniej ruchomej Zamiast używać wartości z przeszłości dla zmiennej prognozowanej w regresji, model średniej ruchomej wykorzystuje błędy przeszłości prognozowanej w modelu regresyjnym . y c et theta e theta e dots theta e, gdzie et jest białym szumem. Mówimy o tym jako o modelu MA (q). Oczywiście nie obserwujemy wartości et, więc nie jest to regresja w zwykłym sensie. Zauważ, że każdą wartość yt można uważać za ważoną średnią ruchomą z kilku ostatnich błędów prognozy. Jednak modeli średniej ruchomej nie należy mylić ze średnią ruchomą, o której mówiliśmy w Rozdziale 6. Model średniej ruchomej jest używany do prognozowania przyszłych wartości, podczas gdy średnia ruchoma służy do oszacowania trendu w przeszłych wartościach. Rysunek 8.6: Dwa przykłady danych z modeli średniej ruchomej o różnych parametrach. Po lewej: MA (1) z y t 20e t 0,8 e t-1. Po prawej: MA (2) z y t e t e t-1 0,8 e t-2. W obu przypadkach, e t jest normalnie rozproszonym szumem białym o średniej zero i wariancji 1. Rysunek 8.6 pokazuje niektóre dane z modelu MA (1) i MA (2). Zmiana parametrów theta1, dots, thetaq skutkuje różnymi wzorami szeregów czasowych. Podobnie jak w przypadku modeli autoregresyjnych, wariancja terminu błędu et tylko zmieni skalę serii, a nie wzory. Możliwe jest zapisanie dowolnego stacjonarnego modelu AR (p) jako modelu MA (infty). Na przykład, używając powtórnej substytucji, możemy to zademonstrować dla modelu AR (1): zacząć yt amp phi1y i amp phi1 (phi1y e) i amp phi12y phi1 e i amp phi13y phi12e phi1 e et amptext end Provided -1 lt phi1 lt 1, wartość phi1k będzie się zmniejszać, gdy k będzie większe. Tak więc ostatecznie otrzymujemy yt et phi1 e phi12 e phi13 e cdots, proces MA (infty). Odwrotny wynik ma miejsce, jeśli nałożymy pewne ograniczenia na parametry MA. Następnie model MA nazywa się odwracalnym. Oznacza to, że możemy zapisać każdy odwracalny proces MA (q) jako proces AR (infty). Modele odwracalne nie umożliwiają po prostu konwersji z modeli MA na modele AR. Mają także pewne właściwości matematyczne, które ułatwiają ich stosowanie w praktyce. Ograniczenia odwracalności są podobne do ograniczeń stacjonarności. Dla modelu MA (1): -1lttheta1lt1. Dla modelu MA (2): -1lttheta2lt1, theta2theta1 gt-1, theta1 - theta2 lt 1. Bardziej skomplikowane warunki utrzymują qge3. Ponownie, R będzie dbać o te ograniczenia podczas estymacji modeli.